द्विपरमाणुक गैस के लिए $\frac{C_{P}}{C_{V}}$ का अनुपात व्युत्पन्न कीजिए।

(D) द्विपरमाणुक दृढ़ रोटेटर गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ है और प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ है।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम से,$1 \text{ mole}$ गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $(U)$:
$U = 5 \times \frac{1}{2} k_{B} T \times N_{A}$
$U = \frac{5}{2} (k_{B} N_{A}) T$
चूंकि $k_{B} N_{A} = R$,इसलिए:
$U = \frac{5}{2} RT \quad \dots(1)$
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{V})$:
$C_{V} = \frac{dU}{dT} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ में रखने पर:
$C_{V} = \frac{d}{dT} \left[ \frac{5}{2} RT \right] = \frac{5}{2} R$
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{P})$ के लिए मेयर के संबंध का उपयोग करने पर:
$C_{P} - C_{V} = R$
$C_{P} = C_{V} + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$
अतः,अनुपात $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ है:
$\frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{\frac{7}{2} R}{\frac{5}{2} R} = \frac{7}{5} = 1.4$